Von seinen zahlreichen Bühnenparts sind nur wenige überliefert, etwa 1902/03 die Rolle des Leutnants Victor von Hohenegg in dem Lustspiel "Im bunten Rock"²⁾ von Franz von Schönthan¹⁾ (1849 – 1913) und Freiherr von Schlicht²⁾ (1867 – 1926). Das "Hamburger Fremdenblatt" vom 2. November 1902 notierte unter anderem anlässlich eines Gastspiels am Hamburger "Thalia-Theater": "Man merkte allen Darstellern an, daß sie mit Lust und Liebe spielten. Frl. Hönigsvald gab die amerikanische Missis mit dem ganzen Charme ihrer Persönlichkeit und in drei prachtvollen Toiletten, die, wenn sie allgemein getragen würden, den Sieg der Reformkleider sehr in Frage stellen dürften; Herr Eugen Burg war ein schneidiger Husarenleutnant und Liebhaber; Herr Ludwig Max gab den philiströs bürgerlich gefärbten, ewig aufgeregten Fabrikanten Wiedebrecht mit unwiderstehlicher Komik und Herr Paul Biensfeldt schuf aus dem etwas begriffsstutzigen Hans eine drollige Charakterfigur."³⁾ In dem heiterem Schauspiel "Der Leibgardist" von Ferenc Molnár begeisterte er 1911 auch das Münchener Publikum.
 
Eugen Burgs erste Leinwandauftritte werden in stummen Streifen des Filmpionier bzw. -regisseurs Max Mack¹⁾ (1884 – 1973) für die Berliner Filmfirma "Projektions-AG Union" (PAGU) nachgewiesen. Für Max Mack stand der Schauspieler noch mehrmals vor der Kamera, so auch mit der Hauptrolle des Robert als Partner des den Bertram mimenden Ferdinand Bonn⁴⁾ (1861 – 1933) in der spaßigen Geschichte "Robert und Bertram"¹⁾ (1915), welche den Untertitel "Die lustigen Vagabunden" trug und in der auch der berühmte Ernst Lubitsch¹⁾ (1892 – 1947) als Kommis Max Edelstein zu sehen war. In der äußerst beliebten, von der Berliner PAGU produzierten "Sherlock-Holmes"-Reihe spielte er in "Das dunkle Schloss"¹⁾ (1915) den "Meisterdetektiv". Zur Entstehung des Films notiert Wikipedia: "Das dunkle Schloß" war ursprünglich als dritter Teil der Filmreihe "Der Hund von Baskerville" geplant. Rechtsstreitigkeiten mit dem Produzenten Jules Greenbaum¹⁾ führten jedoch dazu, dass die produzierende PAGU den Film unter diesem Titel nicht führen durfte. Greenbaums Firma hatte nämlich selbst einen Film "Der Hund von Baskerville, 3. Teil" mit dem Untertitel "Das unheimliche Zimmer" unter der Regie von Richard Oswald her- und unmittelbar zuvor fertiggestellt. Daraufhin machte die juristisch unterlegene PAGU Paul Davidsons¹⁾ kurzerhand aus ihrem Sherlock Holmes einen Detektiv Braun und aus der von Hanni Weiße gespielte Laura Lyons eine Else Schmidt. Lediglich beim Baskerville-Schurken Stapleton verzichtete man auf eine Umbenennung.
In etlichen stummen Produktionen unterschiedlichen Genres arrivierte Eugen Burg mit Haupt- und Nebenrollen nun zum vielbeschäftigten Leinwand-Star, führte zwischen 1916 und Anfang der 1920er Jahre auch mehrfach Regie und drehte Filme mit Publikumslieblingen wie Ressel Orla⁴⁾ (1889 – 1931), Wanda Treumann⁴⁾ (1889– ca. 1940er Jahre), Oscar Marion⁴⁾ (1894 – 1986) oder Karl Beckersachs⁴⁾ (1886 – 1942?); bei "Das Abenteuer der Bianetti" (1919) spielte auch Tochter Hansi mit.
Zu seinen bekanntesten Arbeiten als Darsteller zählen die beiden ersten Teile des Historienfilms "Fridericus Rex"¹⁾ (1921, mit Otto Gebühr), das Melodram "Violet"⁵⁾ (1921, mit Olga Tschechowa), die Operetten-Adaption "Der Zigeunerbaron" (1926/27) oder die Komödie "Eine Dubarry von heute"¹⁾ (1927), in der auch sein Schüler und Protegé bzw. "Schwiegersohn" Hans Albers⁴⁾ (1891 – 1960) auftrat.
Seit 1923 war Burgs Tochter Hansi Burg¹⁾ (1898 – 1975) die Lebensgefährtin von Hans Albers, "mit dem Machtantritt der Nationalsozialisten 1933 geriet das christlich-jüdische Paar bald unter Beobachtung und dann unter Beschuss des Propagandaministers. Um seine Karriere nicht zu gefährden und den Druck abzumildern, erklärte Albers in einem offiziellen Schreiben an Joseph Goebbels vom 15. Oktober 1935 seine offizielle Trennung von der Jüdin Hansi Burg. Zum Schein heiratete sie den norwegischen Staatsbürger Erich Blydt, um aus dem Fadenkreuz der NS-Rasseideologen zu geraten. Aber: De facto lebten Hans & Hansi auch weiterhin als Paar am Starnberger See zusammen bis Hansi Burg Albers' Wankelmut eigene Entschlossenheit entgegensetzte und 1939 auf eigene Faust klammheimlich ins Exil über die Schweiz nach London abreiste.⁶⁾ 1946 kehrte Hansi Burg aus England nach Deutschland zurück und setzte ihre Beziehung mit Albers bis zu dessen Tod 1960 fort.⁷⁾
 
Mit Hans Albers drehte Eugen Burg Anfang der 1930er Jahren einige weitere Filme, so "Der Greifer" (1930), "Der Sieger"⁵⁾ (1932) und "Der weiße Dämon"⁵⁾ (1932), seine letzten Auftritte hatte er in Erich Waschnecks Romanze "Unmögliche Liebe" (1932, mit Asta Nielsen) und in dem Kurzfilm "Meine Frau – seine Frau" (1933). 
Danach war seine Karriere im Nazi-Deutschland beendet, als sogenannter "Volljude" verlor er sein Engagement bei der Ufa, wurde vermutlich Ende 1933 von der "Reichsfachschaft Film"¹⁾ (RFF) bzw. der "Reichstheaterkammer"¹⁾ (RTK) mit Berufsverbot belegt. Eine spätere Flucht ins gesicherte Ausland misslang, Eugen Burg wurde gefasst und am 28. Januar 1943 in das KZ Theresienstadt deportiert. Dort ermordeten die Nazi-Schergen den inzwischen nahezu erblindeten 73-Jährigen am 17. November 1944 – auch eine Intervention seines Freundes Hans Albers hatte ihn nicht retten können. Das bisher angenommene Todesdatum "15. November" konnte laut Kay Weniger¹⁾, basierend auf unlängst freigegebenen Unterlagen der Gedenkstätte Theresienstadt, widerlegt werden.
Der Künstler war seit 1889 mit der Koloratursopranistin Emmy Raabe⁷⁾ (geb. 02.06.1877 in Przemysl (Galizien), gest. 06.07.1927 in Berlin) verheiratet; aus der Verbindung stammten neben Hansi Burg noch die Töchter Stefanie-Marie Burg sowie Rita Burg (1900 – ?), ebenfalls Schauspielerin.